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CURSO:TRANSPORTE OPTIMO
TRADUCCION:OPTIMAL TRANSPORT
SIGLA:MPG3437
CREDITOS:15
MODULOS:04 (02 + 02 AYUDANTIAS)
CARACTER:OPTATIVO DE PROFUNDIZACION
TIPO:CATEDRA
CALIFICACION:ESTANDAR
PALABRAS CLAVE:TRANSPORTE OPTIMO, TRANSPORTE, GEOMETRIA
NIVEL FORMATIVO:MAGISTER


I.DESCRIPCIÓN DEL CURSO

Se aprenderan la teoria de Transporte Optimo, y se traduciran problemas de modelizacion ocupando transporte optimo, lo que permite evidenciar (i) geometria subyacente, (ii) estrategias de solucion, (iii) algoritmos numericos utiles en la practica. Se destacaran conexiones entre Matematicas puras y Machine Learning, Optimizacion y Estadistica. Las herramientas de matematicas puras ocupadas son especialmente de Analisis, Ecuaciones Diferenciales y Geometria. El curso se basa en clases frontales, clases invertidas, y presentaciones grupales. Las evaluaciones ponderan presentaciones en clases invertidas y grupales, tareas de problemas y prueba final.


II.RESULTADOS DE APRENDIZAJE

1.Aplicar teoria de Monge-Kantorovich, dualidad y relajamiento, en problemas de modelamiento y optimizacion.

2.Manipular modelos basados en distintas versiones de transporte optimo adaptados a aplicaciones posibles.

3.Seleccionar metodos numericos adecuados para problemas de transporte y sus aplicaciones en matematicas y otras ciencias.

4.Interpretar geometricamente ecuaciones diferenciales ocupando flujos gradientes de Wasserstein.

5.Analizar aplicaciones de transporte optimo en metodos estadisticos y de aprendizaje de maquinas.

6.Comunicar de forma efectiva, tanto oral como escrita, conceptos modelados por transporte y sus motivaciones aplicadas


III.CONTENIDOS

1.Problemas primal y dual
1.1.Problemas de Monge y de Kantorovich, dualidad
1.2.Existencia y no existencia de mapeos de transporte, relajamiento
1.3.Funciones c-convexas

2.Propiedades geometricas de planos y mapeos de transporte
2.1.Casos modelo fundamentales: costo = |x-y|?, costo = |x-y|
2.2.Favorecer y penalizar la congestion: transporte optimo ramificado y con congestion
2.3.Divergencias estadisticas

3.Metodos numericos
3.1.Formula de Benamou-Brenier
3.2.Algoritmo de Angenent-Hacker-Tannenbaum
3.3.Metodos discretos, transporte semidiscreto
3.4.Regularizacion entropica
3.5.Clustering y baricentros de Wasserstein

4.Distancia de transporte y geometria del espacio de medidas de probabilidad
4.1.Ecuacion de continuidad, flujos gradiente y transporte optimo
4.2.Discretizar los flujos gradiente: ?evolutional variational inequalities?
4.3.Traducir ecuaciones en flujos gradiente

5.Extensiones
5.1.Transporte optimo multi-marginal
5.2.Transporte optimo no balanceado
5.3.Condiciones de frontera para ecuaciones modeladas por transporte optimo
5.4.Control de Wasserstein para metodos Monte Carlo y Machine Learning


IV.ESTRATEGIAS METODOLOGICAS

-Clases frontales.

-Clases invertidas.

-Presentaciones grupales.

-Aprendizaje basado en problemas.


V.ESTRATEGIAS EVALUATIVAS

-Exposicion grupal: 10%

-Informe escrito trabajo grupal: 20%

-Tareas de problemas: 20%

-Clases invertidas: 20%

-Examen final escrito: 30%


VI.BIBLIOGRAFIA

Minima

Cedric Villani: Optimal Transport, Springer, 2009.

Filippo Santambrogio: Optimal Transport for Applied Mathematicians, Birkhauser, 2015.

Gabriel Peyre, Marco Cuturi: Computational Optimal Transport. 2018. https://arxiv.org/abs/1803.00567


Complementaria

Marc Bernot, Vincent Caselles, Jean-Michel Morel: Optimal Transportation Networks, Springer, 2009.

Yann Brenier: Examples of Hidden Convexity in Nonlinear PDEs. 2020. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02928398/document.


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS / MAYO 2021