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CURSO: ALGEBRA II
TRADUCCION: ALGEBRA II
SIGLA: MAT2237
CREDITOS: 10
MODULOS: 04
TIPO DE ASIGNATURA: CATEDRA
CALIFICACION: ESTANDAR
DISCIPLINA: MATEMATICA
NIVEL FORMATIVO: PREGRADO


I. DESCRIPCIÓN DEL CURSO

El curso, de caracter teorico, esta orientado a desarrollar un conocimiento profundo de la matematica escolar de Educacion Media. En este curso, se estudiaran los fundamentos matematicos del algebra de los sistemas numericos a traves del concepto abstracto de cuerpo. Este curso se desarrolla poniendo especial enfasis en las distintas representaciones, errores frecuentes, planteamiento y resolucion de problemas, produccion de los alumnos y las conexiones de estos temas con el curriculum escolar.


II. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

1. Comprender y explicar el papel ordenador y unificador que juegan las estructuras algebraicas en la matematica.

2. Articular las estructuras concretas (numeros racionales, reales, complejos y clases residuales) a traves del concepto abstracto de la estructura de cuerpo.

3. Aplicar los principales teoremas de la teoria de cuerpos de caracteristica cero a diversas situaciones particularmente a las llamadas imposibilidades clasicas de la geometria

4. Conectar los conocimientos disciplinarios avanzados mencionados en los objetivos anteriores con aquellos de la matematica escolar a los que sirven de sustento teorico.


III. CONTENIDOS

1. Numeros Racionales, Reales y Complejos.

1.1 Estructura algebraica de cuerpo en los numeros racionales, reales y complejos.

1.2 Diferencias entre esos cuerpos.

1.3 Representaciones en la recta y en el plano.

1.4 Los sistemas numericos y sus propiedades algebraicas: enteros, racionales, reales y complejos en el curriculum escolar.


2. Otros ejemplos de cuerpo.

2.1 Cuerpos finitos. Clases Residuales.

2.2 Cuerpo de fracciones de un Dominio de Integridad: racionales a partir de los numeros enteros, funciones racionales a partir de los polinomios sobre un cuerpo.

2.3 Anillos de Division: los cuaterniones.


3. Extensiones de Q.

3.1 Extensiones finitas. Extensiones por radicales.

3.2 Extensiones trascendentes

3.3 Numeros algebraicos y trascendentes: p y e.


4. El Teorema Fundamental del Algebra.

4.1 Formulacion del teorema y aplicaciones.

4.2 Demostracion del TFA.


5. Introduccion a la Teoria de Galois.

5.1 La idea general de la teoria de Galois.

5.2 Extensiones normales.

5.3 Automorfismos.

5.4 La correspondencia de Galois.

5.5 Solucion de ecuaciones por radicales.


6. El Algebra y las Imposibilidades Clasicas.

6.1 Resolucion por radicales de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grados. Conexion con las ecuaciones del curriculo escolar.

6.2 Demostracion algebraica de las imposibilidades geometricas: cuadratura del circulo, duplicacion del cubo, triseccion del angulo.


IV. METODOLOGIA PARA EL APRENDIZAJE

- Clases expositivas.

- Ayudantias.


V. EVALUACION DE APRENDIZAJES

- Controles.

- Actividades de resolucion de problemas.

- Pruebas escritas.


VI. BIBLIOGRAFIA

Minima:

Jones, A., S. Morris y K. Pearson. Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Springer, 1991.

Hungerford, T. Abstract Algebra. An Introduction. 3? Ed. Cengage Learning, 2013.


Complementaria:

Artin, M. Algebra. Prentice Hall, 1991.

Fraleigh, J. Algebra Abstracta. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, 1988.

Labra, A. y A. Suazo. Elementos de Teoria de Cuerpos. J.C. Saez Editores, 2011.

Stewart, I. Galois Theory. Chapman & Hall, 1991.


PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS / ENERO 2019