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CURSO : Introduccion a la teoria espectral en mecanica cuantica
TRADUCCION : Introduction to Spectral Theory in Quantum Mechanics
SIGLA : FIM3435
CREDITOS : 15 UC / 9 SCT
MODULOS : 2
REQUISITOS : FIZ0223 Y FIZ0313 Y FIZ0322
RESTRICCIONES : 030401, 030501
CONECTOR : Y
CARACTER : Optativo
TIPO : Catedra
CALIFICACION : Estandar
PALABRAS CLAVE : Teoria espectral, mecanica cuantica y analisis funcional
NIVEL FORMATIVO : DOCTORADO


I.DESCRIPCIÓN DEL CURSO

Este es un curso introductorio a la teoria espectral y preparatorio para la investigacion fisico-matematica en la mecanica cuantica. Se estudiaran topicos del analisis funcional, teoria de integracion de Lebesgue y teoria de operadores. De esta forma, se espera que los estudiantes adquieran las competencias para comprender, explicar, y discriminar la literatura moderna en Fisica-Matematica, pudiendo aplicarla a problemas en mecanica cuantica.


II.RESULTADOS DE APRENDIZAJE

-Interpretar y aplicar de forma efectiva resultados matematicos relevantes en fisica cuantica.
-Dominar con fluidez el lenguaje matematico necesario para valorar la literatura fisico-matematica contemporanea.
-Analizar desde el punto de vista matematico, problemas fisicos en mecanica cuantica.
-Adquirir los conocimientos necesarios para apreciar y demostrar teoremas relevantes en fisica cuantica.
-Desarrollar habilidades comunicativas para presentaciones y discusiones en Fisica.


III.CONTENIDOS

1.Introduccion
1.1. Repaso de nociones de Mecanica Cuantica
1.2. Repaso fundamentos del analisis real
1.3. Formas sesquilineares y la desigualdad de Schwarz

2.Espacios de Hilbert y de Banach
2.1. Productos escalares y normas
2.2. Nociones de topologia en espacios normados
2.3. Ortogonalidad en espacios de Hilbert

3.Operadores lineales en espacios de Hilbert
3.1. Operadores acotados
3.2. Proyecciones y operadores unitarios
3.3. Teorema de extension unica

4.Integracion de Lebesgue
4.1. Construccion intuitiva de la integral de Lebesgue
4.2. Propiedades de la medida
4.3. Teoremas de convergencias

5.Transformada de Fourier y espacios de Sobolev
5.1. Transformada de Fourier
5.2. Derivadas debiles
5.3. Espacios de Sobolev y sus propiedades

6.Operadores auto-adjuntos
6.1. Criterios basicos
6.2. Teorema de Kato-Rellich
6.3. Teorema de Friedriechs

7.Espectro de un operator cerrado
7.1. La resolvente y el espectro
7.2. Separacion del espectro
7.3. Secuencias de Weyl

8.Teorema espectral y sus aplicaciones en Mecanica Cuantica
8.1. La medida espectral
8.2. Existencia de soluciones en la ecuacion de Schrodinger
8.3. Teoria de perturbaciones analitica


IV.ESTRATEGIAS METODOLOGICAS

- Catedras, proyectos grupales, seminarios.


V.ESTRATEGIAS EVALUATIVAS

-Tareas semanales: 60%
-Controles: 15%
-Charla final: 25%


VI.BIBLIOGRAFIA

Minima:
- G. Teschl. Mathematical methods in quantum mechanics. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.
- J. Weidmann. Linear operators in Hilbert spaces, volume 68. Springer Science & Business Media, 2012.
- M. Reed and B. Simon. Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis. Academic Press, New York, 1972.

Complementaria:
- C. R. de Oliveira. Intermediate spectral theory and quantum dynamics, volume 54 of Progress in Mathematical Physics. Birkha ?user Verlag, Basel, 2009.
- Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition, 2010.
- M. Reed and B. Simon. Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators. Academic Press, New York, 1978.
- Serge Richard. Operator theory on Hilbert spaces. [Online].
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard/teaching/s2019/Operators.pdf.