No hay comentarios.

PONTIFICIA UN I V E R S I D A D CA T O L I C AD E CH I L E
FACULTAD DE MA T E M A T I C A S




SIGLA : MPG3950
CURSO : VARIABLE COMPLEJA I
CRÉDITOS : 15


I.- Objetivos

Profundizar los conceptos basicos y desarrollar temas mas avanzados en la teoria
de funciones analiticas.


II.- Contenidos

1. Funciones Analiticas: ecuaciones de Cauchy-Riemann, equivalencia entre
funciones analiticas y transformaciones conformes, funciones armonicas,
propiedad del valor medio, principio del maximo para funciones armonicas,
ejemplos.

2. Series de Potencia : propiedades y ejemplos.

3. Aspectos Geometricos: proyeccion estereografica, grupo de Mobius, razon
doble de cuatro puntos, principio de simetria para transformaciones de
Mobius.

4. Integracion Compleja: teorema de Cauchy y corolarios: teorema de Liouville,
teorema de Morera, teorema fundamental del algebra, equivalencia entre
funcion analitica y representacion local en serie de potencia, principio del
maximo, principio del argumento, teorema de Rouche; calculo de integrales
por residuos, series de Laurent, convergencia de funciones analiticas en
analitica.

5. Propiedades Locales de Funciones Analiticas: ceros, polos, singularidades
esenciales, teorema de Weierstrass-Casorati, caracterizacion de polinomios y
funciones racionales, principio de identidad.

6. Lema de Schwarz: formulacion clasica e invariante, automorfismos del disco,
isometrias hiperbolicas*.

7. Funciones Armonicas: formula de Poisson en el disco y semiplano, formula de
Schwarz, principio de reflexion.

8. Mapeo Conforme : teorema de mapeo de Riemann, ejemplos de mapeos
conformes, formula de Schwarz-Christoffel*, teorema de Hurwitz*.

9. Temas Adicionales: productos infinitos, teorema de Mittag-Leffler,
expansiones clasicas.


III.- Metodologia

El curso se basara en clases expositivas y sesiones de ejercicios. Adicionalmente
habra tareas y examenes.

IV.- Evaluacion

Tareas y examenes


V.- BIBLIOGRAFIA

Ahlfors, L.V., Complex Analysis, Analisis de Variable Compleja, Mc. Graw-Hill,
1966.

Nehari, Z., Conformal Mappings. Dover. 1952.

Titchmarsh, E., The Theory of Functions. Oxford University Press,
1939.

Rudin, W., Real and Complex Analysis McGraw-Hill., 1966.

Henrici, P, Applied and Computational Complex Analysis, Wiley, 1974.